TUNNELING TERDETEKSI — Peluru menembus target!
Analisis Real × Computer Science

Kekontinuan Seragam
dalam Collision Detection

Mengapa sebuah physics engine bisa melewatkan tabrakan? Dan bagaimana teori Uniform Continuity dari Analisis Real memberikan jaminan formal bahwa algoritma collision detection pasti berhasil — untuk setiap posisi, setiap waktu, tanpa pengecualian.

Kekontinuan Biasa (Pointwise)

$$\forall x_0 \in D,\; \forall \varepsilon > 0,\; \exists \delta > 0 :\; |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$$

δ bergantung pada x₀. Artinya, resolusi waktu yang dibutuhkan bisa berbeda-beda di setiap titik lintasan. Tidak praktis untuk fixed-timestep game loop!

Kekontinuan Seragam (Uniform)

$$\forall \varepsilon > 0,\; \exists \delta > 0,\; \forall x, y \in D :\; |x - y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \varepsilon$$

δ berlaku seragam untuk SEMUA titik. Satu Δt yang sama menjamin akurasi di seluruh lintasan — persis seperti yang dibutuhkan oleh fixed-timestep game engine!

Visualisasi Interaktif ε-δ

Simulasi Collision Detection

Saksikan bagaimana Δt yang terlalu besar menyebabkan peluru menembus target (tunneling)

Klik Tembak untuk memulai simulasi

Mode Deteksi

Δt min (teori) 0.080 s
Sub-steps 1
Mode Eksperimen: Klik Tembak untuk menembakkan peluru lurus secara deterministik.
0 Ditembakkan
0 Hit
0 Tunneling
— Hit Rate

Bukti Matematis: Mengapa Ini Bekerja?

Derivasi formal Δt minimum menggunakan teori Kekontinuan Seragam

1

Definisikan Posisi sebagai Fungsi Kontinu

Misalkan posisi peluru sebagai fungsi waktu. Peluru bergerak dengan kecepatan konstan $v$ dari posisi awal $p_0$:

$$p_b(t) = p_0 + v \cdot t \quad \text{(fungsi linear, Lipschitz continuous)}$$

Posisi zombie tetap (atau bergerak perlahan) di $p_z$. Fungsi jarak antara peluru dan zombie:

$$d(t) = \|p_b(t) - p_z\| = \|p_0 + vt - p_z\|$$
2

Buktikan Fungsi Posisi Uniformly Continuous

Fungsi $p_b(t)$ adalah Lipschitz continuous dengan konstanta $L = \|v\|$:

$$\|p_b(t_1) - p_b(t_2)\| = \|v\| \cdot |t_1 - t_2| \leq L \cdot |t_1 - t_2|$$

Karena setiap fungsi Lipschitz continuous adalah uniformly continuous, maka $p_b(t)$ uniformly continuous pada $[0, T]$.

Alternatif: Gunakan Teorema Heine-Cantor — setiap fungsi kontinu pada himpunan kompak $[0, T]$ adalah kekontinuan seragam.

3

Tetapkan Toleransi Collision (ε)

Misalkan $R = r_b + r_z$ adalah radius gabungan (jumlah radius peluru dan radius zombie). Tabrakan terjadi saat $d(t) \leq R$, artinya zona collision memiliki "lebar" sepanjang lintasan sebesar $2R$.

$$\varepsilon = 2R = 2(r_{\text{bullet}} + r_{\text{zombie}})$$

Ini adalah ε dalam definisi uniform continuity — toleransi maksimum agar kita tidak melewatkan zona collision.

4

Hitung δ (Resolusi Waktu Minimum)

Dari sifat Lipschitz: jika $|t_1 - t_2| < \delta$, maka $\|p_b(t_1) - p_b(t_2)\| < v \cdot \delta$. Kita ingin ini kurang dari $\varepsilon = 2R$:

$$v \cdot \delta < 2R \quad \Longrightarrow \quad \delta = \frac{2R}{v}$$

Perhatikan: δ hanya bergantung pada ε (yang ditentukan oleh R), bukan pada posisi spesifik $t_0$. Inilah esensi kekontinuan seragam!

5

Kesimpulan: Syarat Δt untuk Deteksi Terjamin

Jika kita melakukan collision check setiap interval waktu $\Delta t \leq \delta$, maka perpindahan peluru antar-check tidak melebihi $2R$. Artinya, peluru tidak mungkin melewati seluruh zona collision tanpa terdeteksi.

Rumus Kunci: Resolusi Waktu Minimum

$$\boxed{\Delta t_{\min} = \frac{2R}{v} = \frac{2(r_{\text{bullet}} + r_{\text{zombie}})}{v_{\text{bullet}}}}$$

Jika $\Delta t \leq \Delta t_{\min}$, collision detection dijamin berhasil untuk semua posisi — berkat Kekontinuan Seragam.

Kalkulator Δt Minimum

Δtmin = 2R / v = 0.0800 s

Analisis Error & Batas Error

Hubungan antara Δt, kecepatan, dan probabilitas deteksi tabrakan

Kecepatan (v) px/s Radius (R) px Δtmin = 2R/v Δt aktual Status